第三节 高斯—若当消元法
高斯消元法始终是消去对角线下方的元素，如果在每次消元过程中，首先将主元素化为1， 并消去对角线上方与下方的元素，这种方法称为高斯—若当(Gauss-Jordan)消元法.它不需要回代过程即可求得线性方程组的解.
例1 用高斯—若当消元法求解线性方程组
解 方程组的增广矩阵经高斯—若当消元法，得
故原方程的解为
设用高斯—若当消元法已完成
步，于是线性方程组
化为等价方程组
,其中
满足
，
次消元后，得原方程组的解为
与高斯消元法相同，高斯—若当消元法也可进行全主元素消元法及列主元素消元法.
初看起来，似乎高斯—若当消元法比高斯消元法好，然而只要我们稍作分析就会发现它的运算量比高斯消元法要大.
使用公式(1)—(5)，对每一个
需要
次除法, 
次乘法，及
次减法，故乘除法总运算量是
加减法总运算量是
在第二节中我们曾指出，高斯消元法的运算量，乘除法次数为
,加减法的次数为
，从而，高斯—若当消元法比高斯消元法的运算量乘除法多
次，加减法多
次。当
值较大时，高斯消元法比高斯—若当消元法节省
次乘除法和加减法，这个运算量是十分可观的.
二 逆矩阵
高斯—若当消元法对求 一个矩阵的逆矩阵，或对求解仅常数项不同的很多方程组及矩阵方程是非常有用的.
求矩阵
的逆矩阵
，即求
阶矩阵
，使
，其中
为
阶单位矩阵.将矩阵分块
于是，求解
等价于求解
个方程组
由线性代数理论，我们有下面结论.
定理 设
为非奇异矩阵，方程组
的增广矩阵为
，如果对
应用高斯-若当方法化为
，则
例2
用高斯—若当消元法求
的逆矩阵
.
解
所以
为了节省存储单元，可不必将单位矩阵存放起来.作为第一步结果的式(9)中第1列已无用处，而第4列又相当于逆矩阵所求第1列的中间结果，把它移到第1列不影响简化过程的实质.而且第5、6两列的常数项可取消，它们对简化也无实质影响，所以，最终按原位记法(9)式的结果可存放为
同理,式(10)中的
阶矩阵将第4列移到第1列，第5列移到第2列，取消第6列，则按原位记法为
式(11)的原位结果为
即为我们所要求的逆矩阵
,所以在计算中求逆矩阵的过程可简记为
=
一般地，逆矩阵的计算公式为
式(12)—(15)就是求逆矩阵的基本计算公式，对应于每一个
值就是完成了一个消元过程，在消元过程进行中
和
变量在规定的范围内进行循环.
我们知道,只要矩阵
的行列式
,则
总是可逆的,然而,当主元素为零或绝对值太小时,按上述方法计算机可能要溢出，因此，在约化的过程中也应采用选主元素的方法,如果互换矩阵的两行,对方程组的解来说,这样的对换对结果没有影响;而对求逆矩阵来说,这样的对换改变了所要求的逆矩阵.事实上,是逆矩阵也作了相应两列的互换,所以,计算逆矩阵也可以通过列主元素消元法,只要记住行的交换,然后在结果中施行相应的列交换即可.