第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合

一最小二乘法的基本原理

从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.

6—1

二多项式拟合

假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得

(1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然

为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得

(2)

即

 (3)

（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为

(4)

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式

 (5)

可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作

由式(2)可得

(6)

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2) 列表计算和；

(3) 写出正规方程组，求出；

(4) 写出拟合多项式。

在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 

例1 测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。

i	0	1	2	3	4	5	6
(℃)	19.1	25.0	30.1	36.0	40.0	45.1	50.0
	76.30	77.80	79.25	80.80	82.35	83.90	85.10

解画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

列表如下

i
0	19.1	76.30	364.81	1457.330
1	25.0	77.80	625.00	1945.000
2	30.1	79.25	906.01	2385.425
3	36.0	80.80	1296.00	2908.800
4	40.0	82.35	1600.00	3294.000
5	45.1	83.90	2034.01	3783.890
6	50.0	85.10	2500.00	4255.000
	245.3	565.5	9325.83	20029.445

正规方程组为

解方程组得

故得R与T的拟合直线为

利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。

6-2

例2 已知实验数据如下表

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	3	4	5	6	7	8	9	10
	10	5	4	2	1	1	2	3	4

试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。

解设拟合曲线方程为



列表如下

I
0	1	10	1	1	1	10	10
1	3	5	9	27	81	15	45
2	4	4	16	64	256	16	64
3	5	2	25	125	625	10	50
4	6	1	36	216	1296	6	36
5	7	1	49	343	2401	7	49
6	8	2	64	512	4096	16	128
7	9	3	81	729	6561	27	243
8	10	4	100	1000	10000	40	400
	53	32	381	3017	25317	147	1025